Matemáticas para principiantes

Matemáticas

Matemática Discreta 

Examinaremos una propiedad de los enteros positivos, que nos permitirá establecer algunas fórmulas matemáticas mediante una técnica llamada inducción.

Tratemos de expresar el subconjunto de los enteros positivos, Z⁺, mediante los símbolos de desigualdad > y >=.

Z⁺ = {x ∈ Z / x > 0} = {x ∈ Z / x >= 1}

Ahora, hagamos lo mismo con los números racionales positivos y los números reales positivos.

Q⁺ = {x ∈ Q / x > 0}
R⁺ = {x ∈ R / x > 0}

No podemos representar los números racionales y reales positivos con el signo >=. Q⁺ y R⁺ no contienen elementos mínimos. Por ejemplo, si q es un número racional positivo, q/2 es un número racional positivo más pequeo.

Principio del buen orden

Cualquier subconjunto no vacío de Z⁺ contiene un elemento mínimo.

Este principio es la base de una técnica de demostración conocida como inducción matemática. Esta técnica nos servirá con frecuencia para demostrar una proposición matemática general relacionada con los enteros positivos.

Principio de inducción matemática

Sea P(n) una proposición en la que aparece una o varias veces la variable n, que representa a un entero positivo.

a) Si P(1) es verdadera; y
b) siempre que P(k) sea verdadera (para algún k en Z⁺ particular, pero elegido al azar), entonces P(k+1) será verdadera;

entonces P(n) es verdadera para todo n ∈ Z⁺.

1. Demostrar que para cualquier n ∈ Z⁺,
   
   Para n=1, P(1)=1 y 1(1+1)/2=1, entonces P(1) es verdadera.
   Supongamos que P es verdadera para n=k (para algún k ∈ Z⁺), queremos mostrar que la verdad de P(k) obliga a aceptar la verdad de P(k+1).
   Necesitamos mostrar que
   
   
   
   pues estamos suponiendo la verdad de P(k).
   Pero
   En consecuencia, por el principio de inducción, P(n) es verdadera para todo n ∈ Z⁺.
   
2. Demostrar que
   
P(1) = 2.1 - 1 = 1 = 1² ⇒ P(1) es verdadera.
Ahora supongamos que P(k) es verdadera.
Con lo que P(k+1) es verdadera.

3. Demostrar que 4n < n² - 7 para todo n ≥ 6.
Denotemos con P(n) la proposición 4n < n² - 7.
n=6: P(6) = 4.6 = 24 y 6² - 7 = 36 - 7 = 29 ⇒ P(6) es verdadera.
Supongamos que P(k) es verdadera para k > 6, o sea que 4k < k² - 7
4k < k² - 7 ⇒ 4k + 4 < (k² - 7) + 4 < (k² - 7) + (2k + 1)
ya que 2k + 1 > 4 para k ≥ 6
⇒ 4(k + 1) < (k² + 2k + 1) - 7 = (k + 1)² - 7
Por lo tanto, por el principio de inducción, P(n) es verdadera para todo n ≥ 6.